La tradición de la crítica: Argumentación II: La lógica de clases

Dentro de la lógica formal, además de la lógica de enunciados, existe la lógica de clases o de predicados.

Se entiende por clase una pluralidad o conjunto de individuos que tienen una misma propiedad o propiedades.

La lógica tradicional, que se remonta a Aristóteles y tuvo un gran desarrollo en la Edad Media, se basa en el razonamiento silogístico, que es un caso particular de la lógica de clases.

Un silogismo es un razonamiento mediante oraciones que constan de sujetos y predicados con mayor o menor extensión. A los conceptos de mayor extensión se los llama "términos mayores" y a los de menor extensión, "términos menores". Podemos demostrar la relación entre un término menor y un término mayor gracias a la intervención de un concepto intermedio, llamado "término medio", que sirve de nexo.

Por ejemplo:

Término mayor: "Europeo".
Término medio: "Castellano".
Término menor: "Segoviano".

Silogismo:

[1ª Premisa] Todos los castellanos (T. Medio) son europeos (T. Mayor)
[2ª Premisa] Todos los segovianos (T. Menor) son castellanos (T. Medio)
___________________________________________________
[Conclusión] Todos los segovianos (T. Menor) son europeos (T. Mayor)

Los diagramas de Euler y Venn ayudan a comprender de manera intuitiva la lógica de clases. Os dejo abajo unos apuntes tomados de educared.

Representación gráfica de clases mediante los diagramas de Euler – Venn

Las clases se representan por un círculo:

Las clases disjuntas:

Clases distintas:

Inclusión:

Representación de operaciones

Suma lógica: $A\cup B$

Producto lógico: $A\cap B$

Diferencia lógica: $A - B$

Diferencia simétrica: $A\Delta B$

Clase complementaria: $\overline A$

El silogismo en la lógica de clases

El silogismo es un razonamiento deductivo en el que partiendo de dos o más premisas, se llega a la conclusión que se deriva necesariamente de ellas. Fue formulado por primera vez por Aristóteles en su gran obra de Lógica a la que llamó Organon.

Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Luego Sócrates es mortal.

También puede haber silogismos inválidos, por ejemplo:

Todos los españoles son simpáticos. Ningún francés es español. Luego ningún francés es simpático.

Como se advierte, no hay conexión entre las premisas y la conclusión.

[editar] El silogismo y los diagramas de Euler-Venn

Las premisas que constituyen los silogismos pueden ser de cuatro tipos: (A) Universales afirmativas, (E) universales negativas, (I) particulares afirmativas y (O) particulares negativas:

A	Universal afirmativa	Todos los $S$ Son $P$	Todos los hombres son mortales
E	Universal negativa	Ningún $S$ es $P$	Ningún hombre es mortal
I	Particular afirmativa	Algún $S$ es $P$	Algún hombre es mortal
O	Particular negativa	Algún $S$ no es $P$	Algún hombre no es mortal

Para representar estas proposiciones en diagramas, es necesario traducirlas al lenguaje de la lógica de clases:

(A) Universal afirmativa, "Todos los $S$ son $P$ " $[ S\subset P] \,$ , es decir que la clase de los $S$ que no está incluida en $P$ es una clase vacía. En los diagramas, la clase vacía se simboliza mediante un coloreado rosa, según se observa:

(E) Universal negativa, "Ningún $S$ es $P$ ", quiere decir que la clase constituida por los elementos comunes a la clase $S$ y a la clase $P$ , el producto lógico entre ambos es una clase vacía, que se simboliza por un coloreado rosa: $S\cap P = \varnothing$

(I) Particular positiva, "Algún $S$ es $P$ ", quiere decir que la clase formada por los elementos comunes a la clase $S$ y a la clase $P$ no es vacía, su producto lógico no es una clase vacía. La clase no vacía se simboliza con una cruz rosa:

(O) Particular negativa, "Algún $S$ no es $P$ ", afirma que la clase de los $S$ que no pertenecen a $P$ no es una clase vacía; por tanto también se simboliza con una cruz en color rosa:

En el siguiente razonamiento:

Todos los felinos son animales. Los leones son felinos. Luego los leones son animales.

Simbolización:

$F$ = felinos.

$A$ = animales.

$L$ = leones.

$F \subset A$

$L \subset F$

$\vdash F \subset A$

Fácilmente se comprueba su validez debido a la transitividad de la inclusión.

Las leyes lógicas se aplican mejor cuando las premisas son más complejas:

1.Nadie al mismo tiempo sabe tocar la guitarra y lee novelas.

2.Quien no tienen un traje es socio de un club de baloncesto.

3.Quien tiene un Mp3, no se corta el pelo.

4.Nadie que sea miembro de un club de baloncesto, lee novelas.

5.Todo el que es risueño, se corta el pelo.

6.Todos los que no saben tocar la guitarra, tiene Mp3.

¿Se puede obtener alguna conclusión?

Pasamos a simbolizar las premisas:

$A$ = los que tocan la guitarra.

$L$ = los que leen novelas.

$T$ = los que tienen traje.

$S$ = los socios de un club de baloncesto.

$R$ = los risueños.

$H$ = los que tienen Mp3.

$P$ = los que se cortan el pelo.

$A \cap \overline{L} = \varnothing$

$\overline{T} \subset S$

$H \cap P$

$S \cap L = \varnothing$

$R \subset P$

$\overline{A} \subset H$

Expresamos ahora las premisas utilizando la inclusión para poder aplicar la ley de la transitividad:

$A \subset L$

$\overline{S} \subset T$

$H \subset \overline{P} = P \subset \overline {H}$

$S \subset \overline{L} = L \subset \overline {S}$

$R \subset P$

$\overline{H} \subset A$

Ordenándolos correctamente nos queda:

$R \subset P$

$P \subset \overline{H}$

$\overline{H} \subset A$

$A \subset L$

$L \subset \overline{S}$

$S \subset T$

Luego la conclusión será: $R \subset T\quad$ o Los risueños tienen traje.

miércoles, 20 de octubre de 2010

Argumentación II: La lógica de clases

Representación gráfica de clases mediante los diagramas de Euler – Venn

Representación de operaciones

El silogismo en la lógica de clases

[editar] El silogismo y los diagramas de Euler-Venn